Pierwsze Prawo Kirchhoffa - przepływ prądu w obwodzie elektrycznym

Pierwsze Prawo Kirchhoffa, pomimo swojej pozornej prostoty, jest dla elektroników niezwykle cennym narzędziem umożliwiającym projektowanie i analizę układów. Jakie ma zastosowania i z czego wynika? Zapraszam do lektury!

I Prawo Kirchhoffa - jak brzmi?

Encyklopedyczna definicja mówi, że pierwsze Prawo Kirchhoffa to prawo dotyczące przepływu prądu w rozgałęzieniach obwodu elektrycznego. A dokładniej:

Suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów wypływających z tego węzła.

To prawo sformułował w 1845 roku niemiecki fizyk Gustav Kirchhoff, który jest autorem innych praw, również z zakresu chemii. Co ciekawe, to prawo, podobnie jak równanie Pitagorasa, nie doczekało się ani jednego dowodu potwierdzającego jego fałszywość - wręcz przeciwnie, wszystkie dotychczasowe badania i opracowania naukowe dowodzą, że jest ono całkowicie prawidłowe.

Inna postać tego prawa:

Dla węzła w obwodzie elektrycznym, algebraiczna suma prądów jest równa 0, pod warunkiem, że prądy wpływające do węzła weźmiemy ze znakiem (+), a wypływające ze znakiem (-).

Jest ona całkowicie równoważna poprzedniej postaci.

Jak należy je rozumieć?

Na schematach, wykonanych zgodnie z zasadami teorii obwodów, znajdują się węzły. Taki węzeł łączy kilka gałęzi. Przez każdą z nich płynie prąd o określonym natężeniu, w jedną bądź w drugą stronę.

Załóżmy, że mamy do czynienia z takim węzłem. Skupia pięć gałęzi, a przez każdą z nich płynie prąd o innym natężeniu I₁...I₅.

Analizę tego węzła możemy przeprowadzić na dwa sposoby.

Sposób pierwszy

Prądy wpływające do węzła (skierowane w jego stronę): I₁, I₂, I₃
Prądy wypływające z węzła (rozchodzące się od niego): _I4, I₅
Suma prądów wpływających do węzła wynosi I₁ + _I2 + I₃
Suma prądów wypływających z węzła wynosi I₄ + I₅

Zatem I₁ + I₂ + I₃ = I₄ + I₅

Sposób drugi

Sumujemy wszystkie prądy, ale wpływające bierzemy do sumy ze znakiem (+), a wypływające ze znakiem (-).

I₁, I₂, I₃ - wpływają
I₄, I₅ - wypływają

Po zsumowaniu I₁ + I₂ + I₃ - I₄ - I₅ = 0

Można pokazać, że te sposoby są równoważne, jeżeli prądy I₄ i I₅ z pierwszego równania przeniesiemy na drugą stronę, zmieniając przy tym ich znak.

Przed przekształceniem: I₁ + I₂ + I₃ = I₄ + I₅
Po przekształceniu: I₁ + I₂ + I₃ - I₄ - I₅ = 0

Z czego wynika to prawo?

Inspiracją dla Kirchhoffa była z całą pewnością zasada zachowania ładunku elektrycznego, która jest jednym z fundamentów fizyki. Mówi ono, że ładunek elektryczny nie może zniknąć bezpowrotnie ani też znikąd się pojawić - jego ilość w zamkniętym układzie jest cały czas niezmienna. Natężenie prądu to ładunek przeniesiony w określonym czasie, więc prądowe Prawo Kirchhoffa - bo taka nazwa również funkcjonuje - ma bardzo dużo wspólnego z ładunkiem.

Kirchhoff przyjął, że węzeł jest obiektem nieskończenie małym, wobec czego nie ma w nim miejsca również na gromadzenie się ładunku: ile wpłynęło do tego obszaru, tyle musi natychmiast z niego wypłynąć, nieważne w którą stronę. 

W rzeczywistości, węzły w układach elektrycznych, jako obiekty materialne mają pewną objętość, więc mogą zgromadzić niewielką (wręcz śladową) ilość ładunku przez pewien czas, ale w zdecydowanej większości układów nie ma to najmniejszego znaczenia. Taka funkcja węzłów ujawnia się dopiero w układach pracujących przy naprawdę wysokich częstotliwościach, rzędu wielu gigaherców.

Szczególne przypadki

Połączenie szeregowe dwóch elementów również spełnia prądowe Prawo Kirchhoffa. Kiedy z jednego elementu prąd wypływa, to drugi musi przyjąć ten prąd w całości. Nie ma między nimi żadnych rozgałęzień, którymi część prądu mogłaby odpłynąć lub które mogłyby doprowadzić nieco większy prąd do jednego z elementów. Można zatem takie połączenie traktować jako węzeł, do którego są podłączone dwie gałęzie.

Aby to udowodnić, rozpatrzmy poniższy schemat. Przez lewy element płynie prąd I₁, a przez prawy I₂. Wstawiamy symbol węzła - kropkę - aby było jasne, który prąd przyjąć jako wpływający, a który jako wypływający.

Prąd I₁ wpływa do węzła, a I₂ z niego wypływa. Zatem I₁ = I₂, więc prądy płynące przez elementy połączone szeregowo są sobie równe.

Jeszcze jednym aspektem, na który warto zwrócić uwagę, jest graficzna reprezentacja węzła. W wielu miejscach możemy spotkać się z tego typu połączeniami:

Teoretycznie, mamy tutaj dwa węzły, ponieważ są narysowane dwie kropki. Ale między tymi węzłami jest idealne połączenie (linia), więc możemy je traktować jako jeden węzeł, który skupia cztery prądy. Po prostu, dla estetyki rysunku “rozerwano” jeden węzeł na dwa, połączone ze sobą, aby zachować kąty proste między liniami. 

Taka postać jest całkowicie równoważna:

Pierwsze Prawo Kirchhoffa dla tego węzła będzie miało postać I₂ + I₄ = I₁ + I₃.

Przykłady:

Prądowe Prawo Kirchhoffa jest stosowane w obliczeniach. Przeanalizujmy dwa przykłady jego zastosowania.

Czy I Prawo Kirchhoffa jest spełnione?

Weźmy do analizy taki układ:

W tym układzie zmierzono takie wartości prądów:

I₀ = 2,2A
I₁ = 0,8A
I₂ = 0,4A
I₃ = 0,35A
I₄ = 0,45A

Trzeba sprawdzić, czy nie został popełniony błąd.

Prądy wpływające do górnego węzła: I₀ = 2,2A
Prądy wypływające z górnego węzła: I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = 0,8A + 0,4A + 0,35A + 0,45A = 2A

Te wartości nie są sobie równe. I Prawo Kirchhoffa nie jest spełnione, więc gdzieś jest błąd.

Obliczenie wartości jednego prądu

W powyższym układzie ustalono, że wynik pomiaru prądu I₃ został zapisany niewyraźnie, stąd pomyłka. Wiedząc, że tylko on jest nieprawidłowy, trzeba obliczyć jego rzeczywiste natężenie.

Sumujemy w tym celu wszystkie prądy: wpływające ze znakiem (+), a wypływające ze znakiem (-):
I₀ - I₁ - I₂ - I₃ - I₄ = 0

Nie znamy I₃, więc przenosimy go na prawą stronę równania, zmieniając przy tym jego znak:
I₀ - I₁ - I₂ - I₄ =  I₃

Podstawiamy liczby:

2,2A - 0,8A - 0,4A - 0,45A = I₃
0,55A = I₃

Wynik: prąd I3 wynosi 0,55A.

Podsumowanie

Pierwsze Prawo Kirchhoffa, zwane również prądowym, reguluje kwestię prądów, które mieszają się w węzłach dowolnego obwodu elektrycznego. Jego podwalinami jest zasada zachowania ładunku elektrycznego, która należy do fundamentalnych reguł współczesnej fizyki.